《数学之美》，一个从事多年工作的谷歌研究员眼中的数学。令我大饱眼福的是，大学里面的数学知识竟能如此广泛运用到了计算机行业中。那么接下来给大家分享一些关于数学之美读书心得，希望对大家有所帮助。
数学用在模型上而不是现实世界中，需要抽象思考出模型，即数学对象是其所做。数系扩充中，复数i并没有比无理数根号2更特殊的地方，因为它们作为抽象的数学构造，如果充分自然，则必能作为模型找到它们的用途。实际上正是如此。
数学中有个根本性的重要事实：数学论证中的每一步都可以不断地分解成更小更清晰有据的子步骤，但是这样的过程最终会终止。原则上，最终会得到一条非常长的论证，它以普遍接受的公理开始，仅通过最基本的逻辑原则一步步推进，最终得到想要求证的结论。所以，任何关于数学证明有效性的争论总是能够解决的。争论在原则上必然能够解决这一事实使数学作为一个学科是独一无二的。在这里，公理系统的主要问题不是真实性，而是自洽性和有用性，即数学证明就是由特定前提能够得出特定结论，而不考虑该前提是否正确。数学归纳法原理正是使用了这一“根本性的重要事实”：假设关于任意正整数n有一陈述s(n)，如果s(1)为真，且s(n)为真总蕴含s(n+1)为真，那么s(n)对任意n都为真。
我不清楚这一“根本性的重要事实”在现实中的使用范围有多大，但由此可以聊一点别的问题。现实中，如果甲对事情有a观点(或说价值观)，乙有b观点，并为此争执。有下面几种情况：1，在上述的范围之外，即没有定论。2，有定论，但是双方都没有给出足够的证据证明和反驳。3，有定论，一方给出了足够的证据(或者反驳理由)，因为表达能力导致表述不清晰而没有说服对方。4，有定论，一方给出了足够的证据(或者反驳理由)，因为对方理解不够或理解偏差导致没有被说服。第234条与这几项有关：知识量，表达能力，理解能力，对外界的认知和自我认知。其中语言本身的局限性会一定程度上影响表达和理解，认知能力是一项综合的要求很高的能力。“评论”这件事就是个很合适的例子。如果说创造更需要的是才气，那么评论更需要的就是能力。但是，无论双方是否知道有无定论，很多情况下需要陈述不少或很多证据或反驳理由，由第234条可知人与人交流的效率很低，并且可能伴随一些冲突。若考虑到一些人的利益因素等，交流会更复杂。
近来，我通过中国大学mooc的慕课《数学建模》获悉一部叫《牛津通识读本》的新出版科普系列。同时购入的有六本——《数学》《法律》《佛学概论》等。由于告知该书的慕课是数学课，我首先阅读的是《数学》。
令我意外的是，本系列的书每本篇幅都短小精悍得让人愉悦(英文类书系列名就叫a very short introduction)。就这本16开大小的《数学》中，有实际内容的只100页左右，剩下的有数十多页附注/答疑，与及100多页的英文原稿(原书作者高尔斯是英国学者)。本书内容质量非常高，并未使『西方当代学科科普』这个标签失色。再考虑到其篇幅如此短小，看来，以后为非理工科班出身的青年们推荐数学科普书，就不必只记得伊恩·斯图尔特与马丁·加德纳了。
虽然这是数学科普，但作者可深知读者心。西方作者所著的数学科普，一向都很能熟练地脱公式脱符号讲问题。与同类书籍比较之下，本书还有个小小的特点：其章节叙述顺序，既不硬从数学史(人类认知史)的流程，也不完全顺应个体认知心理学(教育学)的顺序。开篇破题他选的议题是『数学模型』，非数学专业学生最能适应的一种破题点;然后第二章紧紧承接主题『模型化』，开谈『抽象化』。这个过程的叙述行云流水。我感觉作者很懂怎样说该说的、省去不必说的、跳过不能说的。
第二章《数与抽象》中，作者在引入复数时，首先不能免俗地做了其他科普书差不多的工作：-1的开平方根是复数的定义blabla;然后，他将议题转入更接近上游本质的、但也许常人可能也会想过的问题：形式与实在的关系。
不是说『-1的开平方根』是复数单位i吗?但似乎有两个数的平方等于-1啊(也即i与-i)，到底哪个才是正宗的『复数单位』?如果说i是嘛，那么凭什么-i不是?给我讲清楚啊——对吧?我猜，每个人在其漫长的人生中，都曾经想问过这类问题吧：『为嘛数变量用abc、角变量用αβγ』『为嘛求导符用的是一个点』『为嘛积分符像条蛇』『为嘛积分式里有个d』诸如此类。这些问题并不无聊也不白痴，只是常人很难给出有意义的回答而已;它们中的每个往往都蕴含着16世纪数学大师们的智慧精华。当然，本书没有解答所有这类奇离古怪的问题(这不是《十万个为什么》)。在本书里，作者做的是教授课间做的那种事——随便跟好奇的学生聊聊天，证明过程少说了个『在这个条件下』待会再补上。上面提到的『i与-i哪个才是复数单位』这个议题，这段简短的讨论，同时也扮演了下一章《证明》的引子这个角色。
进度到第三章《证明》结束之后，对读者而言，或许就只剩一个小时的阅读时间而已了。后面的章节，议题越来越抽象(空间、维度、距离、无穷等)，正要抵达最有趣的部分(集合论)时，突然话锋一转，谈起了与抽象几乎相对的另一端：计算理论与数论;然后，本书的主体竟在此突然收官。看来，作者多多少少还保持了清醒，未过度狂热，未打算将每个有趣的命题都灌到读者脑里。在我看来，那种『x猫x气三千问』的大杂烩式科普其实是很不人道的。大家和我一样都读过一遍又一遍的七桥问题与雪花曲线，没必要再来一次了。这些老生常谈的话题，在本书里各只占了一页的篇幅。太好了。
书名说，这是一本数学的通识。
但是读起来还是比较吃力。比如，维度这一章。按以前的数学基础，一二三维接触的最多。高维基本没接触过，所以理解比较吃力。看起来是把几何问题转化成代数问题，可就是云里雾里。书中提到的高维空间图像化，说四维立方体就是两个三维的立方体对应顶点相连。但又说它的形状是不能想象出来的。
不过不能因为看的吃力就否定这本书。如果过于简单的一本书，就不存在什么价值了。在本书中，你看不到过多的术语、公式。作者尽量在把内容简单化、通俗化。很多证明的例子，没有公式，只要是有一定的理解能力，都能看明白。
这本书到底称不称得上数学的通识?
对我来说算。因为它打破了我对数学的一些偏见，让我重新认识数学。比如，我们觉得数学是一门精确的学科。因为里面有很多公式，很多的数字。我们学生时代解题，错一个数字或写错个公式要扣分的。正是这些造成了我们的偏见。作者却说说，对于很多问题来说，能找到精确的公式简直出人意料，如同奇迹一般。多数情况下，我们不得不满足于大致的估计。而正是这些大致的估计，解决了很多的数学问题，比如素数定理、排序算法等等都是通过近似得来的。就连数学模型也是，它并不代表真正的现实世界，只是一个近似的代表和反映。我不经觉得数学原来也可以这样玩。
书中常提的一个观点是：对于数学，不要问它是什么，而只要问它能做什么。也就是作者要传达的信息：学习抽象思考。维基百科上抽象化的定义是缩减一个概念或者资讯含量来将其一般化，主要是为了只保存和一定目的有关的资讯。比如，为了研究球的自由落体运动，把球抽象化成一个点。保留这个点有速度，有重量的特性。而把它的形状模糊了。抽象化思考就是为了降低复杂性，回归本质。
本书前三章是数学的一般性，后几章是讨论一些具体的课题。
最喜欢和认同书中的一句话：我们应当学习抽象地思考，因为通过抽象地思考，许多哲学上的困难就能轻易地消除。事实上，作者在书中介绍的现代数学诸多概念与逻辑，都无一例外的向我们展示数学是认知世界的抽象思维方法，而不是简单的一种学术，更不是解题。
长时间以来，我都对自己没有去数学系或物理系耿耿于怀，巧合的是我弟弟上的却是数学系，然而他却不喜欢。虽然也是一个典型的理科，我却似乎从没有那么真正爱上我曾经的专业，因为在我看来，聪明或智慧分为两种类型：第一个类型是创造能力或者创新能力，第二个类型是逻辑能力或认知能力。这完全是两个方面，并且对于绝大多数常人来说，很难同时两者兼备。不仅如此，两者还往往是矛盾的，具备其一的，往往另一点比较弱势。两者同时具备的，最典型的就是那些在历史上闪耀着光芒的大师们、天才们，譬如：牛顿、爱因斯坦、莫扎特等等。
需要创造能力或创新能力的，往往集中于化学、生命科学等领域，而需要逻辑能力或认知能力的，则往往集中于数学、物理等领域。我在离开学术职业之后，曾经认真反思过自己的过往和资质，很明确的觉得自己在后一种特质上略微有那么一点点天资，而在创造能力和创新能力方面则完全属于level很低的那种了。事实上，这么多年以来就从来没中断过对数学的热爱(当然了，早已不具备真正学术的条件啦)。在对更多的认知过程中，其实归根到底都可以收敛到数学的思维，作者在这本书中繁举了现代数学的诸多分支，其核心精神也是为了说明抽象认知的精髓性，同时抽象认知也是数学思维的最根本所在。
值得一提的是，让我特别感到惊奇(以前没有从这个角度思考过)的是：作者提到数学的本质思维其实全部源自于我们平常生活认知中最基础的逻辑，并没有什么神秘之处，这最基础的逻辑很难表达，但总之就是譬如“班上50个人全部都是两只眼睛的，所以其中一位同学也是两只眼睛的”这种。作者在书中用了略微专业(确实需要一定的理科基础)的语言向我们展现了多么复杂的无理数、无穷数的推导过程，但是他用的数学逻辑，恰恰就是刚才提到的最最基本的逻辑。所以，这给了我一个特别奇妙的体验，那就是：在被作者带着一步一步思考与推导的时候，从开始到进程中，都觉得特别的轻松自然，但结束之后回头一看，原来是如此神奇!
在语音识别、翻译，还有密码学领域，有着许多基于概率统计的模型和思想。当然，贝叶斯公式是基础，应用到隐含马尔科夫链模型，神经网络模型。
在搜索中，一些相关性的计算，无不用到了概率的知识。在新闻分类中，用到了一些有关矩阵特征值、相似对角化的知识。当然，在图像处理方面，矩阵变换可谓是无处不在。另外，在识别方面，有一些通信模型，涉及到了信道、误码率、信息熵。
最近刚开学也没什么事，所以就想随便找几本书看一下，但别是那种太艰深晦涩的书。8月份一直到现在，吴军写的这本12年5月出版的《数学之美》一直盘踞京东、亚马逊等各大网上商城科技类图书的榜首，当然，还有早些时候出版的《浪潮之巅》也排在很靠前的位置。心想市场的力量应该能帮我挑出好书吧，于是就从图书馆借了一本来，一直到今天晚上把它给看完了。
因此想写一点东西来总结、反思一下，反正刚开完班会也没什么事干。
写在前面的建议：如果你不讨厌数学的话，强烈推荐这本书，网上也可以下到电子版，不过阅读感觉上还是很不一样的。
废话就不多说了，《数学之美》其实是一本科普类的读物，所面向的是接受过普通高等教育的人，完全不需要在特定领域有很深的造诣就可以看懂，大概懂一点线性代数、概率统计、组合数学、信息论、计算机算法、模式识别(虽然列举了这么多，其实有些不懂也没关系……)，所以尤其适合信科的人看。内容大部分是和人工智能、计算机相关的，这并非我所学的专业，但作者比较擅长将看似复杂的原理用简明的语言表达出来，所以可读性还是很好的。
吴军是清华大学毕业的，之前任职于google，后来到了腾讯，这些文章都是发表在google黑板报上的，后来经过了重写，所以网上下载的和书本内容有所差异。由于吴军本人是研究自然语言处理和语音识别的，所以统计语言模型的东西可能会多一点，不过我觉得这丝毫不妨碍全书数学之美的展现……感觉收获还是挺多的，知识上的有一些，但更多还是思维方式上的。作者举了很多例子试图让人明白很多看似复杂的高科技背后，基本原理其实是出乎意料简单的(当然，必须承认第一个想到这些方法的人还是非常了不起的……)。比如高准确率的机器翻译，看上去好像是计算机能够理解各国语言，隐藏在背后的却是很多具有大学理科学历的人都非常清楚的统计模型和概率模型;再比如拼音输入法的数学原理，早期的研究主要集中在缩短平均编码长度，比如曾经流行一时的五笔输入法，而现今真正实用的输入法却是有很多信息冗余、编码长度比较长的拼音输入法，作者从信息论和市场的角度做了简单的阐述;又比如新闻的自动分类，许多非it领域的人可能会认为计算机可以读懂新闻并进行分类，而实际上只是特征向量的抽取、空间中向量夹角的计算，非常非常简单，但凡学过一点线性代数的人绝对是一看就懂的……当然，完美的实现还需要考虑很多细节和现实的情况，但这并不是这本书所关注的地方，数学之美在于其简洁而不是繁琐。
除了对于具体信息技术的剖析之外，作者还花了很大篇幅来讲一些杰出人士的成长过程，特别是把这些人的成长经历和中国学生的成长经历作对比。虽然作者并没有明说，但字里行间多少流露出对于中国高等教育以及很多中国企业的批评，一是教育的功利性，缺乏宽松的独立思考的环境，即使学了一堆理论也难有用武之地，自然也就缺乏创新性的成果;二是中国企业的短视，大部分都不舍得在新框架开发上投资，而是坐享学术界和国外企业的研究成果。
总结一下呢，《数学之美》事实上不能带给你编程能力的提升，也没法让人的数学水平有显着的提升，但它在很大程度上让你跳出教科书式的繁琐细节的束缚，能够从更宏观的角度来思考信息世界背后的数学引擎的运行原理，让人明白看似很高级、复杂的东西背后其实并不如我们所想象的那样复杂，而我们所学的“枯燥”的数学真的可以“四两拨千斤”，改变亿万人的生活。
